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確率を一切使わずに「モンティホール問題」を解説したよ

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モンティホール問題とは?

モンティホール問題は、確率の数学で広く知れ渡っている問題だと思います。
問題自体はシンプル極まりないのですが、直感的な答えと、厳密な確率に則って導き出された答えが異なるという確率の事例となります。発表された当時、多くの数学者の黒歴史を産み出したとニコニコ大百科では書かれています。

このことは以前のブログでも書きましたね。

 

改めて、問題を整理しましょう。

① プレイヤーの前にはA,B,Cの3つのドアがあり、その奥には当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
② プレイヤーがドアを1つ選択する(この時点では開けない)。
③ モンティは正解のドアを把握しており、残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける(2つともハズレの場合はランダム)。これはプレイヤーの回答に関わらず必ず行われ、そのことは予めプレイヤーも認識ている。
④ モンティは「今なら選択を変更して構いませんよ?」とプレイヤーに問いかける。

ニコニコ大百科より

 

ちなみに、正解は選択を変更した方が当たりやすくなります。しかも、2倍当たりやすくなります。

 

ニコニコ大百科の解説

一応、ニコニコ大百科にも解説がありますが、読めば読むほどチンプンカンプンになるのではないでしょうか?

最初にプレイヤーがドアを選択した時点では、

選んだ1枚のドアが当たりである確率 …… 1/3
選ばなかった2枚のドアのうちどちらかが当たりである確率 …… 2/3

もし選んだ1枚が当たりなら
残された2つのドアはどちらもハズレのため、司会者がどちらを開けようとも選択を変えないのが正解。
もし選ばなかったうちどちらかが当たりなら
残された2つのドアのうち片方はハズレであり、司会者は必ずこのドアを開ける。
となれば最終的に残ったドアが当たりであるから選択を変えるのが正解。
さて先ほど述べたように、当たりを引く確率は1/3、ハズレの確率は2/3である。
これはつまり、最初の選択のままで当たる確率が1/3、選択を変えると当たる確率が2/3であると言い換えることができる。
したがって、変更した方が2倍の確率で当たるので変更すべきである。

 

逆にこの解説で納得できる方は、このブログをそっと閉じてください。ここに来た方は、もっと分かりやすい解説を求めていると思われます。

 

実は、確率を使わなくても解説できる

僕もこの問題は直観とは反するものだったため、最初は意味不明だったのですが、ある2chまとめのコメント欄に書かれていた解説のおかげで、すんなり理解できました。ただ、その解説が今どこで見たのかまでは覚えていません。そこで、その解説を図で分かりやすく、ブログに書くことにしました。図を使用することで、確率どころか分数すらいらない解説となり、より多くの人が理解できるのではないかと思います。

 

AとBどちらを選ぶ?

では、解説をします。まず、問題に入る前に次のようなシミュレーションをしてみます。

① ドアが3つあります。3つのドアのうち、当たりは1つだけあります。そして、あなたは左端のドアを選びました。(ドアは開けない)

 

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② すると、司会者はドアをAとBのグループに分けました。司会者は「AとBのグループどちらを選びたいですか?」と尋ねます。(図1) あなたはどちらを選びますか? 当然Bのほうですよね。なぜなら、Bだとドアを2つも開けることができるからです。Aでは1つのドアしか開けられません。

 

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これは、至極当然の選択ですが、これがモンティホール問題を理解するための突破口となります。

 

モンティホールの問題をもう一度考えてみよう

では、先ほどの図を使って、今度はモンティホール問題のほうを考えます。

① プレイヤーはドアを1つ選択する(この時点では開けない)。

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② 司会者は、残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける。(×マークは外れのドア)

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比べてみよう

では、先ほどのシチュエーションの図1とこの時点の図2を比べてみましょう。

 

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図1では、Bの方が当たる確率が高いと当然思ったことでしょう。では、図2の方ではどうでしょうか。よく見ると、図1と図2って、「ドアが開いているか開いていないか」の違いしかありませんよね。ということは、どちらの図もBを選んだ方が当たりやすいのです。


よって、図2の場合は、Bにあるドアを選べば当たる確率が上がります。これはつまり、ドアを変える方が当たる確率が高くなるということなのです。

 

【別の解説】当たるパターンから考える

今度は、先ほどの図を利用して、また別の解説をしてみましょう。当たるパターンを場合分けしてみます。場合分けすると、この3つのパターンしか「当たり」はありません。

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そして、外れのドアを消します。

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消したドアはもう使わないので、きれいに整理します。

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すると、Aのグループを縦に上から見てみると、

当たり
はずれ
はずれ

となっていますが、

Bのグループを縦に上から見ると、
はずれ
当たり
当たり

となります。よって、Bの方が当たりやすいです。

つまり、ドアを変える方が当たりやすいということになります。

 

終わり

僕の解説ですが、すっきりしていただけたら幸いです。個人的には、最初の解説の方が分かりやすかったかなと考えています。

 

 

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