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【不思議な数学の雑学】1=0.999...であることの5つの簡単な証明

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数学の不思議

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たまには、このブログのテーマらしい記事を書きたいと思います。トリビア・話のネタとして使ってください。

 

数学の世界では、実は次の式が成り立ちます。

 

1=0.99999999999999...

 

0.999...と9を繰り返し並べていくと、実はその数字は1と同じだと言うのです。

 

この数式は日本では馴染みがありませんが、海外だと小学生の段階で教える国もあるそうですよ。小学生は絶対ぽかんとするでしょうねw。

 

さて、私たちの直感とは矛盾する数式ではありますが、もちろん証明する方法がありますので、5つだけ紹介します。

 

3分の1を使った証明

1/3=0.333... ですよね。

この両辺に3をかけます。すると、

1/3×3=0.333...×3

これを計算すると、

1=0.999...

となります。(証明終わり)

 

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1つの文字を使った証明

X=0.999...とします。ー①

この両辺に10をかけます。すると、

10X=9.999... となります。ー②

 

次に②と①の両辺それぞれを引き算します。すると、

 

 10X-X=9.999...-0.999... となります。

 

よって、9X=9 となります。

 

あとは、この両辺を9で割れば、

X=1 と分かります。

 

ところで、一番最初に、X=0.999...だと前置きしているので、

1=0.999...と分かります。(証明終わり)

 

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引き算したら0になるを利用した証明

同じ数同士を引き算したら、0になりますよね。例えば、1-1=0、2-2=0です。このことから、もしも1=0.999...ならば、1-0.999...=0になるはずです。

 

これは実際に自分で電卓で引き算してみてもいいかもしれません。僕はGoogleで計算してみました。

 

すると、答えは確かに0に近づきました。

 

よって、1-0.999...=0.000...

 

なので、1=0.999.... となります。(証明終わり)

 

足し算したら2になるを利用した証明

1+1=2になりますよね。よって、1=0.999...ならば

 

1+0.999...=2 になるはずです。

 

実際計算をしてみると、

 

1+0.999...=1.999... となり、確かに答えは2に近づきました。

 

よって、1=0.999…となります。(証明終わり)

 

2つの文字を使った証明

A=1

B=0.999...

とします。

 

ここで、(A+B)/2を計算します。

 

まず、

A+B=1.999… となります。

そして、1.999÷2を計算したら、0.999...と出てきます。

 

よって、(A+B)/2=0.999...となります。-①

 

ところで、B=0.999...と最初に前置きしているので、①の式の0.999...の部分をBに置き換えます。

 

すると、

(A+B)/2=B となります。

 

この式の両辺を2倍にすると、

A+B=2B

 

さらに、この式を簡単にすると、

A=B となります。

 

ところで、A=1、B=0.999... と最初に前置きしているので、

 

1=0.999...となります。(証明終わり)

 

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参考動画

この証明方法はあるYoutube動画を参考にしました。英語で説明していますが、英語分からなくてもだいたい言っている意味が分かると思います。興味があれば見てください。